«например» или «на пример»: как правильно писать слово?

Деление чисел в уме

Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.

Деление на однозначное число

При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.

Например, есть число 6144, которое нужно разделить на 8. Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600. Представим пример в виде:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

Далее из числа 544 также выделяем максимально большое число, которое делится на 8. Имеем:

544:8=(480+64):8=60+64:8

Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Деление на двузначное число

При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.

Например, умножим 1325 на 656. По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет , так как 5*6=30. Действительно, 1325*656=869200.

Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.

Сколько будет 4424:56?

Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424. Интуитивно попробуем число 80.

56*80=4480

Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70. Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4. Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9. Логично предположить, что результатом деления  может быть либо число 74, либо 79. Проверяем:

79*56=4424

Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79, второй вариант обязательно оказался бы верным.

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского»

11 класс

Математика входит в список базовых предметов, которые школьники начинают познавать уже с первого класса. Это точная наука, которая требует усидчивости и полного внимания. Однако в младших классах от учеников еще трудно добиться нужной внимательности и трудолюбия. Но это совсем не означает, что младшеклассники не смогут освоить необходимую математическую базу.

Авторы представленных решебников по математике являются заслуженными педагогами и отличными специалистами своего дела. Они прекрасно знают необходимый подход к ребенку и предоставляют готовые ответы в очень доступной и понятной любому школьнику форме. В данном разделе вы найдете ГДЗ по математике для всех классов (1 и 2,3 и 4, а также 5,6,7,8,9,10 и 11).

Решебники по математике включают полностью проработанные готовые ответы ко всем упражнениям и заданиям из современных школьных учебников. Такие ответы оформляются в соответствии с нумерованными списками их оглавления учебника. Также авторы улучшают свои пособия дополнительными краткими комментариями и необходимыми иллюстрациями, которые помогают гораздо быстрее и качественнее освоить новый материал.

Метаграммы по русскому языку для школьников

Метаграммы по русскому языку для школьников

Метаграммы по русскому языку для школьников:

Был день, стала ночь:
1. день — сень — сель — соль — ноль — ночь;
2. день — пень — пена — вена — вина — виза — ваза — фаза — фара — кара — кора — кожа — ложа — ложь — рожь — роль — ноль — ночь.

От мрака — к свету:
Мрак — брак — брус — трус — трос — трон — урон — урок — срок — сток — стон — стан — стая — свая — сват — свет

Как река стала лужей, а затем превратилась в море:
река — рука — лука — лужа — ложа — лоза — поза — пора — гора — горе — море.

Нога может стать рукой:
Нога — нота — рота — роза — лоза — луза — муза — мука — рука

А Луна Марсом:
Луна — лупа — лапа — лама — рама — раса — роса — коса — кора — гора — горе — море — морс — Марс

Дым может стать паром, а пар превратиться в лед:
1.Дым — дом — сом — сор — бор — бар — пар — пир — пик — лик — лак — лад — лед

Как из ржи муку получить:
рожь — ложь — ложа — лужа — лука — мука

Как суп попал в рот:
суп — сук — сок — сом — ром — рот

Как тесто превращается в булку:
1.тесто — место — месть — масть — пасть — паста — каста — каска — качка — пачка — палка — балка — белка — булка
2.тесто — место — месть — масть — пасть — паста — каста — карта — парта — парка — барка — бурка — булка;

Волк в тигра:
волк — полк — пола — пора — пара — пава — лава — лавр — ливр — литр — титр — тигр;

Барс в лису:
барс — фарс — фара — пара — папа — лапа — липа — лиса;

Коза то в лань, то в коня, то в волка:
1. коза — роза — риза — виза — вина — вена — пена — пень — день — лень — лань
2. коза — кора — корь — конь
3. коза — поза — пола — полк — волк;

Паук в муху:
паук — парк — пара — кара — Кура — купа — лупа — лука — мука — муха;

Кошка в мышку, а мышка в мишку:
кошка — мошка — мышка — мишка;

Ворона в корову:
ворона — корона — корова;

Сойка в чайку:
сойка — сайка — чайка;

Гриб в гнома:
гриб — грим — гром — гном;

Жаба в рыбу:
жаба — раба — рыба;

Рак в кита:
рак — рок — сок — сом — ком — кот — кит;

Муха в слона:
муха — мура — тура — тара — ката кара — каре — кафе — кафр — каюр — каюк — крюк — крок — срок — сток — стон — слон.

Коза смотрит на репу, но не знает, как до нее добраться:
коза — лоза — луза — муза — мука — рука — река — репа

Душа переселяется в тело:
душа — суша — сушь — суть — сеть — сень — сено — село — тело

Враг становится другом:
враг — врач — грач — граб — краб — крап — круп — круг — друг;

Как лиса добралась до норы:
лиса — липа — лапа — папа — пара — пора — нора;

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4)2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4)2=5+1·22

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·22=5+22=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4)2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−62))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−62=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

1. Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
2. Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
3. Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
4. Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
3. Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
4. Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как решаем:

1. Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
2. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Как решаем:

1. Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
2. Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
3. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как решаем:

1. Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Как решаем:

1. Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
2. Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

викторина

1. Домашние хорьки и дикие черноногие хорьки выглядят практически одинаково. Черноногий хорьок Mustela nigripes родом из Северной Америки. Домашний хорек, Mustela putorius furo, родом из Европы и существует только в неволе в Северной Америке. Могут ли эти две популяции быть одним видом?A. нетB. даC. Может быть

Ответ на вопрос № 1

С верно. По всей вероятности, домашние хорьки и черноногие хорьки стали настолько социальными и иными, что скрещивание было бы невозможным. Тем не менее, они все еще принадлежат к тому же роду, Mustela, что предполагает, что их генетика может быть совместимой. Если бы можно было преодолеть репродуктивные барьеры, два вида могли бы скрещиваться.

2. Если ученые различают виды по внешнему виду, почему мужчины и женщины не выглядят по-разному, считаются разными видами?A. Они могут скрещиватьсяB. Сексуальный диморфизм это тип видообразование C. Они считаются разными видами

Ответ на вопрос № 2

верно. Причина, по которой некоторые виды проявляют сексуальный диморфизм, заключается в том, что давление у самцов и самок различное по природе. Самки часто несут ответственность за воспитание выводка или переноску потомства во время беременности. Самцы обычно несут ответственность за защиту выводка или самки, пока она беременна. Есть много случаев, когда эти роли меняются местами. В любом случае, разные формы требуют разных функций, но определяющей характеристикой вида является способность успешно скрещиваться.

3. Недавно было обнаружено, что то, что считается двумя видами форели, один в России и один в США, имеет практически идентичную ДНК и может размножаться, если яйца и сперма искусственно собраны вместе. Популяции постоянно разделены соленым океаном, который они не могут пересечь. В то время как некоторые ученые утверждают, что они делают их одним видом, другие утверждают, что они должны быть отдельными. Каков аргумент в пользу того, чтобы держать их как отдельные виды?A. Они не могут успешно скрещиваться.B. Они все еще разделены географическим репродуктивным барьером.C. Хороших аргументов нет.

Ответ на вопрос № 3

В верно. Форель не может естественным образом размножаться, потому что она разделена тысячами миль морской воды. Этот репродуктивный барьер останется, если форель не адаптирует метод жизни в соленой воде и пересечения океана. Хотя они могут успешно размножаться, когда их яйца и сперма собраны вместе, это не может произойти без вмешательства человека. Это хороший аргумент в пользу того, почему форель должна оставаться отдельным видом.

Легкие метаграммы с ответами для познавательных уроков

Легкие метаграммы с ответами для познавательных уроков

Легкие метаграммы с ответами для познавательных уроков:

С буквой ц — я у стрелков,
С м я — недруг моряков,
С буквой щ, когда война, —
Для укрытия нужна.Цель — мель — щель

С з — вы встретитесь в поле со мною,
С г — на фабрике встречусь я вам,
С ш — меня наполняют водою,
С м — спортсмены наденут меня.Зайка — гайка — шайка — майка

С к — на море я бываю,
С т — я мусор убираю,
С п — одежда для балета,
С д — холодный дом для лета.
Качка — тачка — пачка — дачка
С в — индейцев возглавляет,
С д — всю землю поливает.Вождь — дождь

С буквой б — «трудяга» в поле,
С в — летит, живет на воле.Борона — ворона

С д — ветвистый,
С з — костистый,
С к — ребристый.Дуб — зуб — куб

С л — я тебе по перчаткам знакома,
С б — из меня дочке платье сошьешь,
С ч — я на море, на речке, как дома,
С с — поглядишь на меня и возьмешь.Лайка — байка — чайка — сайка

Планета я и редкий элемент.
Но если к вы вместо у возьмете,
То в каждом доме вы меня найдете,
И воду будете иметь в один момент.Уран — кран

С буквой р — из избы выметают,
Не хотят его много копить.
С буквой к — мамы его покупают,
Любят детишки его попивать.
С буквой н — приходит по ночам,
Дивные картины показывает нам.
С буквой м — на дне речном живет,
И хоть он с большущими усами,
Все равно в уху к нам попадет.
Подсказать? Или ответите вы сами?Сор — сок — сон — сом

С у — она нужна, когда война,
Снарядом танки подбивает.
С е — в шахматах важна.
Смело по клеточкам шагает.Пушка — пешка

Наше первое слово
Знакомо тебе:
Есть рога у него,
Говорит оно: «Бе-е-е!».
Наше слово второе —
Получишь взамен,
Если букву р
Переменишь на н.Баран — банан

Я долговяз и белокрыл.
Я желтый, но зеленым был.
Мне ежик лапу уколол.
А я люблю гуденье пчел.
Я вам видеть помогаю.
На небе ночью я бываю.Аист — лист — лиса — липа — лупа — луна

Насколько с ч я высока,
Настолько с л — низка.
С ш — в арифметике нужна.
А с м — бываю я страшна!Честь — лесть — шесть — месть

Ее счастливой считают,
При счете применяют.
А м на т смените —
И рыбу смело ловите.Семь — сеть

С г — в футболе и хоккее бывает,
Когда игрок в ворота забивает,
С в — незаменим был раньше в поле
Не по своей, конечно, воле.Гол — вол

Ты меня, наверно, знаешь,
Я сказки Пушкина герой.
Но если л на н заменишь,
Сибирской стану я рекой.Елисей — Енисей

С буквой р —
Вас сыпью награждает,
С буквой н —
На скачках побеждает.Корь — конь

Как кушанье, меня ты ценишь,
Довольно вкусный я продукт.
Но если ы на о заменишь,
Меня тотчас же подметут.Сыр — сор

С буквой б он — часть лица,
С в — работа для ловца.Лоб — лов

С буквой ф — я даже барона выше,
С д — стучу как горохом по крыше,
С буквой ч — по полям я шагаю,
Из земли червячков собираю.Граф — град — грач

Мне не пройти ветвистый лес:
Мои рога в ветвях застрянут.
Но обменяй мне л на с —
И листья леса все увянут.Олень — осень

С д — электроинструмент,
Дырку высверлит в момент.
С т — исполнит соловей
Майской ночью средь ветвей.Дрель — трель

С буквой щ — лесной массив,
С т — войдет в состав полка,
С буквой «З» — цветок красивый,
С н — во Франции река.Роща — рота — роза — Рона

С б — грибы находят в нем,
С в — обчистить может дом.Бор — вор

Он дорог ребятишкам всем,
В нем часто Дуров выступал.
Но замените р на н,
И превратится он в металл.Цирк — цинк

Словарь синонимов

брать пример см. подражать, пример, следоватьбрать себе в пример см. пример, следоватьНапример, положим, примерно, скажем, возьмем, предположим, примем; на выдержку. Ср. Пример.не в пример см. гораздо, исключениеПример, образец, образчик, модель, первообраз, прообраз, прототип; сравнение, притча, иносказание, аллегория, метафора, метонимия, парабола, троп, фигура; иллюстрация (объяснение). Подавать пример. Ср. Намек. Брать себе в пример кого, брать с кого пример, следовать чьему примеру, идти по чьим-либо стопам, увлекаться примером кого, подражать кому. Ставить кого в пример. Сотворим человека по образу Нашему и подобию Нашему. Он — пример великодушия. Не в пример лучше. Ср. Басня, Сказка.См. единица, намек, наука, образец Л брать в пример, брать себе в пример, не в пример, не в пример лучше, следовать примеру, ставить в пример, увлекаться примеромставить в пример см. пример

Решение примеров

Большинство детей любят играть такую школу. Усаживаем расшалившихся ребят и даём тетрадный листок в клетку со столбиком примеров. Пишем цифры крупно, высотой в две клетки.  Детям остаётся только ответ написать. Понаблюдайте, каким способом выполняется задание. Решение на пальцах допустимо. Со временем ребёнок от него откажется.

Варианты предъявления примеров

1. К заданному числу прибавлять все числа до 10 по порядку (первый ряд).
2. Меняем слагаемые местами (второй ряд)
3. Примеры из первого ряда предъявляем вразнобой (ряды 3-5).
4. Чередуем примеры на сложение и примеры на вычитание. Часто дети, решая примеры на сложение, следующий пример на вычитание тоже решают, как на сложение. Это называется стереотипность внимания. Избавиться от неё многим ребятам сложно. Чередование примеров помогает преодолевать стереотипность внимания.

Сперва математические действия с двойкой, потом с тройкой и так далее.

А потом пишем нашему ученику любые примеры в пределах первого десятка, двух десятков. Покажите приём присчитывания (отсчитывания) по одному. Так легче перейти через десяток.

Сайт Нестандартные дети желает успехов в школе. 

Способ выражения указательных слов

Разряд	Перечень слов	Примеры
1. Указательные место­име­ния и место­имён­ные наречия	Тот, этот, такой, там, туда, отту­да, тогда, так, настоль­ко, столь­ко, пото­му, отто­го и др.	Так вот тот пода­рок, что он обе­щал ей сде­лать через десять лет. (К. Паустовский).Нет вели­чия там, где нет про­сто­ты, добра и прав­ды. (Л. Толстой).
2. Определительные место­име­ния и место­имён­ные наречия	Весь, все, каж­дый, вся­кий, вез­де, всю­ду, все­гда и др.	Весь день, что мы про­ве­ли в Загорске, я пом­ню по мину­там. (Г. Федосеев).Везде, где мы побы­ва­ли, нам вид­ны сле­ды запустения. (В. Солоухин).
3. Отрицательные место­име­ния и место­имён­ные наречия	Никто, ничто, нигде, нико­гда и др.	Я не знаю нико­го, кто бы мог заме­нить ста­ро­го графа. (Н. Лесков).
4. Неопределенные место­име­ния и место­имён­ные наречия	Кто-то, что-то, где-то, когда-то и др.	По какой-то при­чине, о кото­рой мы не дога­ды­ва­лись, в доме все гово­ри­ли шепо­том и ходи­ли чуть слыш­но. (Н. Лесков).
5. Существительные и цель­ные соче­та­ния суще­стви­тель­ных с ука­за­тель­ны­ми местоимениями	При усло­вии (что, если, когда), в то вре­мя (когда, как), в том слу­чае (когда, если), по той при­чине (что), с той целью (что­бы), до такой сте­пе­ни (что)	А это уда­ёт­ся в том слу­чае, если сам он отно­сит­ся к сло­вам нерав­но­душ­но и непри­выч­но (С. Маршак).Я решил обе­дать один по той при­чине, что обед при­хо­дил­ся на вах­тен­ные часы Бутлера.ь(А. Грин).

Поупражняемся и оты­щем ука­за­тель­ные сло­ва в слож­но­под­чи­нён­ных предложениях.

Смышлёный малыш

Три брата получили 24 яблока, причём каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет три года назад. Самый младший, мальчик очень смышлёный, предложил братьям такой обмен яблоками:

— Я, — сказал он, — оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат тоже оставит себе половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату поровну, а затем и старший брат пусть оставит себе половину всех имеющихся у него яблок, а остальные разделит между мной и средним братом поровну.

Братья, не подозревая коварства в таком предложении, согласились удовлетворить желание младшего. В результате… у всех оказалось яблок поровну. Сколько же лет было малышу и каждому из остальных братьев?

Показать ответ
Скрыть ответ

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 82,7 и 12,7, то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8+12,7. После выполнения сложения получаем дробь вида 8+12,7=92,7=9027=313. Значит, 82,7+12,7=8+12,7=92,7=9027=313.

Ответ: 82,7+12,7=313

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

82,7+12,7=8027+1027=9027=313

Пример 2

Произведем вычитание из 1-23·log23·log25+1 дроби вида 233·log23·log25+1.

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1-23·log23·log25+1-233·log23·log25+1=1-2-233·log23·log25+1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 235+1 и 12. 

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2·35+1. Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2, а ко второй 35+1. После перемножения дроби приводятся к виду 42·35+1. Общее приведение 12 будет иметь вид 35+12·35+1. Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

235+1+12=2·22·35+1+1·35+12·35+1==42·35+1+35+12·35+1=4+35+12·35+1=5+352·35+1

Ответ: 235+1+12=5+352·35+1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет.  В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 16·215 и 14·235, когда их произведение будет равно 6·215·4·235=24·245. Тогда  в качестве общего знаменателя берем 12·235.

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2+16 и 2·53·2+1. 

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2+16·2·53·2+12+1·2·56·3·2+1.  Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5·332+11093=5·332+1·9310.

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5·332+11093=5·332+1·9310

 После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5·332+11093=5·33·9310·2+1=5·210·2+1=32·2+1==3·2-12·2+1·2-1=3·2-12·22-12=3·2-12

Ответ: 5·332+11093=3·2-12

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1, тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.