Порядок выполнения действий, правила, примеры

Как посчитать проценты, составив пропорцию

Составлять пропорции — одно из наиболее полезных умений, которому вас научили в школе. С его помощью можно посчитать любые проценты. Выглядит пропорция так:

сумма, составляющая 100% : 100% = часть суммы : доля в процентном соотношении.

Или можно записать её так: a : b = c : d.

Обычно пропорция читается как «а относится к b так же, как с относится к d». Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Чтобы узнать неизвестное число из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.

Пример 1

Для примера вычислений используем рецепт быстрого брауни. Вы хотите его приготовить и купили подходящую плитку шоколада массой 90 г, но не удержались и откусили кусочек-другой. Теперь у вас только 70 г шоколада, и вам нужно узнать, сколько масла положить вместо 200 г.

Сначала вычисляем процентную долю оставшегося шоколада.

90 г : 100% = 70 г : Х, где Х — масса оставшегося шоколада.

Х = 70 × 100 / 90 = 77,7%.

Теперь составляем пропорцию, чтобы выяснить, сколько масла нам нужно:

200 г : 100% = Х : 77,7%, где Х — нужное количество масла.

Х = 77,7 × 200 / 100 = 155,4.

Следовательно, в тесто нужно положить примерно 155 г масла.

Пример 2

Пропорция подойдёт и для расчёта выгодности скидок. Например, вы видите блузку за 1 499 рублей со скидкой 13%.

Сначала узнайте, сколько стоит блузка в процентах. Для этого отнимите 13 от 100 и получите 87%.

Составьте пропорцию: 1 499 : 100 = Х : 87.

Х = 87 × 1 499 / 100.

Заплатите 1 304,13 рубля и носите блузку с удовольствием.

Как посчитать проценты, разделив число на 100

Так вы найдёте числовой эквивалент 1%. Дальше всё зависит от вашей цели. Чтобы посчитать проценты от суммы, умножьте их на размер 1%. Чтобы перевести число в проценты, разделите его на размер 1%.

Пример 1

Вы заходите в супермаркет и видите акцию на кофе. Его обычная цена — 458 рублей, сейчас действует скидка 7%. Но у вас есть карта магазина, и по ней пачка обойдётся в 417 рублей.

Чтобы понять, какой вариант выгоднее, надо перевести 7% в рубли.

Разделите 458 на 100. Для этого нужно просто сместить запятую, отделяющую целую часть числа от дробной, на две позиции влево. 1% равен 4,58 рубля.

Умножьте 4,58 на 7, и вы получите 32,06 рубля.

Теперь остаётся отнять от обычной цены 32,06 рубля. По акции кофе обойдётся в 425,94 рубля. Значит, выгоднее купить его по карте.

Пример 2

Вы видите, что игра в Steam стоит 1 000 рублей, хотя раньше продавалась за 1 500 рублей. Вам интересно, сколько процентов составила скидка.

Разделите 1 500 на 100. Сместив запятую на две позиции влево, вы получите 15. Это 1% от старой цены.

Теперь новую цену разделите на размер 1%. 1 000 / 15 = 66,6666%.

100% – 66,6666% = 33,3333%.Такую скидку предоставил магазин.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Как рассуждаем:

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное. 

Ответ: 0.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Как рассуждаем:

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m). 

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Аналитическая геометрия

Пример 16. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .Дано:
Координаты точек: M(2, 5, -3), M₁(7, 8, -1) и M₂(9, 7, 4).Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору .

Решение:
В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор = {x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁} = {9-7, 7-8, 4-(-1)} = {2, -1, 5}.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x, y, z) перпендикулярно вектору = {A, B, C}, имеет вид .

Составляем уравнение плоскости с нормальным вектором = {2, -1, 5}, проходящей через точку M(2, 5, -3):.

Ответ: .

Пример 17. Уравнение плоскости «в отрезках»

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость?Дано:
Уравнение плоскости: 2x – 4y + 6z – 12 = 0.Найти:
Отрезки, которые отсекает на осях координат плоскость.a, b, c — ?

Решение:
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

Уравнение — это уравнение плоскости «в отрезках». Параметры представляют собой координаты точек пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

Применяя вышеприведенное к уравнению 2x – 4y + 6z –12 = 0, получим:.

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b =−3, c = 2.
Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy.

Задачи по теме «Уравнение плоскости в пространстве»

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой:

Решение:
Для составления канонического или параметрического уравнения прямой в пространстве, нужно знать координаты какой-либо точки, лежащей на этой на этой прямой, и координаты вектора, коллинеарного прямой.
Так как прямая является линией пересечения двух плоскостей, ее направляющий вектор а параллелен каждой из этих плоскостей и соответственно перпендикулярен нормалям n₁ и n₂ к данным плоскостям. В таком случае он коллинеарен векторному произведению [n₁, n₂].n₁ = (2; 1; -5), n₂ = (5; 3; 8), [n₁, n₂] = (23; -41; 1).
Итак, (l; m; n) = (23; -41; 1).

Найдем точку, лежащую на данной прямой, у которой одна из координат принимает выбранное нами значение; тогда остальные две координаты можно определить из системы уравнений, задающей пересекающиеся плоскости.

Примем для удобства вычислений z = 0, тогда для точки A={х; у; 0}x = -4; y = 11; A = {4; 11; 0}.

Cоставим канонические уравнения данной прямой:.

Ответ: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую k: и точку B = {2; -3; 1}.

Решение:
Так как точка А = {-3,5,-1} принадлежит плоскости, значит вектор AB параллелен плоскости.
Так как данная прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости.
Значит, нормаль к плоскости коллинеарна векторному произведению этих векторов.

Так как прямая лежит в плоскости, ее направляющий вектор a = (2; 1; -1) параллелен плоскости. При d = 0 из уравнений прямой получаем: — координаты точки А, принадлежащей прямой и соответственно плоскости.

Получается, что вектор AB = (5; -8; 2) параллелен плоскости. Значит, нормаль n к плоскости коллинеарна векторному произведению = (-6; -9; -21).
Примем n = (2; 3; 7) и составим уравнение плоскости, проходящей через точку B перпендикулярно n:

Ответ: 2x + 3y + 7z – 2 = 0.

Задача 3.Написать уравнение плоскости, которая проходит через три точки с координатами N₁(x₁, y₁, z₁), N₂(x₂, y₂, z₂), N₃(x₃, y₃, z₃).

Решение:
Предположим, что какая нибудь, находящаяся на плоскости точка N, имеет координаты (x, y, z). Для этого случая уравнение плоскости примет вид:
(r-r, a, b) = 0,
гдеr = (x, y, z);r = (x₁, y₁, z₁);
базисные векторы (смотрите рисунок) соответственно равны и .

Если записать смешанное произведение в виде определителя, то получим необходимое уравнение плоскости:

Ответ:

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любыми другими числами. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

1. Разделить целую часть десятичной дроби на это число.
2. Поставить запятую в частном и продолжить вычисление, как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть на два. Записать полученный результат в частное и поставить запятую.
3. Умножить частное на делитель, записать, посмотреть на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остаток «ноль» не записываем. Сносим 8 и делим её на 2.
4. Делим еще раз. Записываем полученную 4 в частном и умножаем её на делитель:

Ответ: 4,8 : 2 = 2,4.

Пример 2. Разделить 183,06 на 45.

Как решаем:

1. Записать деление уголком.
2. Разделить целую часть 183 на 45. Записать результат, поставить запятую в частном.
3. Записать результат разницы 183 и 180. Снести 0. Записать 0 в частное, чтобы снести 6.
4. Записать результат разницы 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому добавляем ноль и производим разницу.

Ответ: 183,06 : 45 = 4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число записать, как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как решаем:

1. Записать 0,25 в виде обыкновенной дроби: 0,25 = 25/100.
2. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 0,25 : 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделить 2,55 на 1 1/3.

Как решаем:

1. Записать 2,55 в виде обыкновенной дроби: 2,55 = 255/1000.
2. Записать 1 1/3 в виде обыкновенной дроби: 1 1/3 = 4/3.
3. Разделить дробь по правилам:

Ответ: 2,55 : 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы умножить десятичную дробь на обыкновенную или смешанную, используют два правила за 6 класс. При первом приводим десятичную дробь к виду обыкновенной и потом умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь в десятичную и потом умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как решаем:

1. Записать 0,8 в виде обыкновенной дроби: 0,8 = 8/10.
2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 ∗ 0,8 = 0,32.

Пример 2. Умножить 0,28 на 6 1/4.

Как решаем:

1. Записать 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
2. Умножаем по правилам: 0,28 ∗ 6,25 = 0,8.

Ответ: 0,28 ∗ 6 1/4 = 0,8.

А если нужно решить примеры с десятичными дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

• Калькулятор раз
• Два
• Три

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Простые задачи на нахождение остатка

1. Максим посадил на рубашке 8 пятен. 4 из них мама отстирала. Сколько пятен осталось на рубашке?
2. В трамвае ехало 10 человек. На остановке вышли 7 человек. Сколько человек осталось в трамвае?
3. С начала недели прошло 5 дней. Сколько дней осталось до конца недели?
4. Коля написал 8 поздравительных открыток. 7 открыток он подарил. Сколько открыток у него осталось?
5. На проводах сидели 9 ворон. 5 ворон улетели. Сколько ворон осталось?
6. В классе 8 комнатных растений. Дежурный Денис полил 5 растений. Сколько растений Денису осталось полить?
7. На дом было задано списать 7 предложений. Лена списала 3 предложения. Сколько предложений осталось списать Лене?
8. На клумбе росло 10 цветков, 2 цветка сорвали. Сколько цветков осталось на клумбе?
9. На столе было 7 книг. 4 книги убрали в шкаф. Сколько книг осталось на столе?
10. На заборе сидело 5 кошек. 2 кошки спрыгнули. Сколько кошек осталось на заборе?
11. На подоконнике стоит 7 горшков с цветами. 2 горшка переставили на другое окно. Сколько горшков осталось на первом окне?
12. Бегун должен пробежать дистанцию в 9 км. Он уже пробежал 4 км. Сколько километров осталось пробежать бегуну?
13. Серёжа нашёл 7 жёлудей. 5 жёлудей он подарил младшей сестре. Сколько жёлудей осталось у Серёжи?
14. Гриша должен нарисовать четырёх крокодилов. Двух крокодилов он уже нарисовал. Сколько крокодилов осталось нарисовать Грише?
15. Оля должна прополоть 5 грядок. 2 грядки она прополола до обеда. Сколько грядок осталось прополоть Оле? На скамейке сидели 6 человек. 2 человека ушли. Сколько человек осталось?
16. Ваня должен написать 8 приглашений своим друзьям. 3 приглашения он уже написал. Сколько приглашений осталось написать Ване?
17. Артёму задали прочитать 10 страниц. 6 страниц он уже прочитал. Сколько страниц осталось прочитать Артёму?
18. На полке стояло 10 книг. Дети взяли 4 книги. Сколько книг осталось на полке?
19. В ящике лежит 8 вилок. К обеду взяли 5 вилок. Сколько вилок осталось в ящике?
20. В комоде лежит 5 подушек. Для гостей взяли 3 подушки. Сколько подушек осталось в комоде?

Цикл Пока

Данный цикл предназначен для осуществления повторений, пока выполняется условие. Синтаксис цикла выглядит так:

Для выполнения очередного повторения Логическое выражение должно возвращать значение Истина. Это работает следующим образом:

1. Вычисляем значение Логического выражения. Если оно Ложь, цикл завершается. Если Истина:
2. Выполняем операторы цикла;
3. Возвращаемся на п. 1.

Пример 1. При помощи сообщения вывести пользователю цифры от 1 до 10.

Таким образом в цикле Пока нам необходимо не только выполнить требуемое действие, но и изменить переменную участвующую в проверке его условия. Если забыть это сделать, можно получить бесконечный цикл, который приведет к зависанию системы.

Пример 2. А теперь только не четные, в интервале от 1 до 100, в обратном порядке.

В примере используется операция %. Она получает остаток от деления одного числа на другое.

При помощи цикла Пока можно обойти массив или любую другую коллекцию в обратном порядке. Это необходимо не часто, но реализовать такой механизм при помощи других циклов проблематично. Рассмотрим такой механизм в примере 3.

Также цикл Пока часто используется для обхода выборки из результата запроса. У выборки для этого есть специальный метод Следующий(). Он осуществляет переход на следующую строку и возвращает Истина, если такая строка есть. Если же следующая строка отсутствует в выборке, метод возвращает Ложь. Нельзя забывать, что работу с запросом можно осуществлять только в серверной процедуре (или функции).

Пример 4. При помощи запроса выбрать всех пользователей, кроме недействительных. Обойти выборку циклом Пока.

Сложение и умножение вероятностей

Немного теории:

• Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
• События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂,…, A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство: 

P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

1. только в одном справочнике;
2. только в двух справочниках;
3. во всех трех справочниках.

Как рассуждаем:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4)2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4)2=5+1·22

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·22=5+22=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4)2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−62))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−62=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 62·83?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·63−2+42.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·63−2+42=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·63−2+42=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы ни одна задача не смутила вас своей формулировкой, важно знать, как преобразовывать десятичные дроби в другие виды. Сейчас научимся!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе задачки по математике намекают, что дроби как-то связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть от любого числа, обозначают его значком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Давайте на примере:

0,15 = 0,15 · 100% = 15%.

Выразить дробь в процентах просто: сначала превратим её в десятичную дробь, а потом применим предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 · 100% = 40%

8/25 = 0,32
0,32 · 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обижать гостей, нужно всего-то запомнить соотношения частей и целого. Наглядная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрая напоминалка:

Десятичная дробь — это число с остатком, где остаток стоит после целой части и разделяется запятой.

Смешанная дробь — это тоже число с остатком, но остаток записывают в виде простой дроби (с черточкой).

Чтобы переводить десятичные дроби в смешанные, не нужно запоминать особые алгоритмы. Достаточно понимать определения и правильно читать заданную дробь — этим школьники и занимаются в 5 классе. А теперь давайте потренируемся!

Пример 1. Перевести 5,4 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых четыре десятых. «Четыре десятых» подсказывают, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
2. А теперь сократим числитель и знаменатель на два (потому что можно) и получим: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Перевести 4,005 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: четыре целых пять тысячных. Значит 5 — идет в числитель, а 1000 — в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После сокращения: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Перевести 5,60 в смешанное число.

Как решаем:

1. Читаем вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель, а 100 — в знаменатель. В смешанном виде дробь такая: 5 60/100.
2. Сократим дробную часть на 10 и получим 5 6/10. Или можно вспомнить про свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем придумывать велосипед и рассмотрим самый простой способ превращения десятичной дроби в обыкновенную. Вот, как это сделать:

1. Перепишем исходную дробь в новый вид: в числитель поставим исходную десятичную дробь, а в знаменатель — единицу. Например:
   • 0,35 = 0,35/1
   • 2,34 = 2,34/1
2. Умножим числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а у знаменателя соответственно добавляются нули. На примере легче:
   • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
   • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
3. А теперь сокращаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им числа:
   • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, еще раз делим на 2, получаем итоговый ответ 3/10.
   • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2 17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень обидная ошибка!

Задачи на понятие «столько же»

1. У Коли 4 машинки, у Дениса столько же. Сколько всего машинок у мальчиков?
2. В одном стручке 5 горошин и в другом столько же. Сколько горошин в двух стручках?
3. На одной ветке 3 груши и на другой столько же. Сколько всего груш на двух ветках?
4. У папы 2 брата и столько же сестёр. Сколько всего братьев и сестёр у папы?
5. В конфетнице лежали 4 карамельки и столько же шоколадных конфет. Сколько всего конфет лежало в конфетнице?
6. У кошки 5 белых котят и столько же серых котят. Сколько всего котят у кошки?
7. На доске лежало 3 куска фиолетового мела и столько же кусков жёлтого. Сколько всего кусков мела лежало на доске?
8. На столе стояли 3 чашки и столько же блюдец. Сколько всего предметов стояло на столе?
9. В секции плавания занимались 4 девочки и столько же мальчиков. Сколько всего детей занимались в секции плавания?
10. У школы росли 3 берёзы. Дети посадили ещё столько же берёз. Сколько всего берёз стало у школы?
11. Кате на день рождения подарили 2 куклы, 6 зайчиков, а воздушных шариков столько, сколько кукол и зайчиков вместе. Сколько воздушных шариков подарили Кате?
12. На опушке леса росло 5 клёнов и 4 тополя, а сосен росло столько, сколько клёнов и тополей вместе. Сколько сосен росло на опушке леса?
13. Костя исписал за первую четверть 3 тетради, за вторую четверть 4 тетради, а за третью исписал тетрадей столько, сколько за первую и вторую четверти вместе. Сколько тетрадей исписал Костя за третью четверть? 
14. В букете 5 одуванчиков, 4 лютика, а васильков столько, сколько одуванчиков и лютиков вместе. Сколько васильков в букете?
15. На стоянке стояло 3 жёлтые машины, 7 зелёных, а красных машин столько, сколько жёлтых и зелёных вместе. Сколько красных машин стояло на стоянке?
16. Серёжа решил 2 задачи утром, 3 задачи днём, а вечером решил задач столько, сколько утром и днём вместе. Сколько задач решил Серёжа вечером?
17. Маше 6 лет, Кате 4 года, а Толе столько лет, сколько Маше и Кате вместе. Сколько лет Толе?
18. В первой группе 6 девочек, во второй группе 2 девочки, а в третьей столько, сколько в первой и второй группах вместе. Сколько девочек в третьей группе?
19. На первой клумбе 4 тюльпана, на второй 3 тюльпана, а на третьей клумбе столько, сколько на первой и второй клумбах вместе. Сколько тюльпанов растёт на третьей клумбе?
20. У рыжей кошки 4 котёнка, у серой 3, а у белой столько, сколько у рыжей и серой вместе. сколько котят у белой кошки?

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

   Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

   Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

   Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого

1. На тарелке было 6 абрикосов. Когда несколько абрикосов съели, на тарелке осталось 2 абрикоса. Сколько абрикосов съели?
2. В магазине на полке стояло 10 машинок. После того как несколько машинок продали, на полке осталось 6 машинок. Сколько машинок продали?
3. В кружке занимаются 9 ребят. Когда несколько человек заболели, на занятия пришли 6 ребят. Сколько ребят заболели?
4. На полянке играло 7 зайчат. Когда несколько зайчат убежало, осталось 3 зайчонка. Сколько зайчат убежало?
5. В парке было 5 зелёных скамеек. Когда несколько из них перекрасили, в парке остались 2 зелёные скамейки. Сколько скамеек перекрасили?
6. Во дворе гуляли 7 девочек. Когда несколько девочек ушли домой, остались 3 девочки. Сколько девочек ушли?
7. В вагоне было 10 человек. Когда несколько человек вышли, в вагоне осталось 3 человека. Сколько человек вышли?
8. В трамвае ехали 9 человек. Когда несколько человек вышли, остались 5 человек. Сколько человек вышли из трамвая?
9. На кустике висело 7 ягод клубники. Когда несколько ягод созрело и упало, осталось 5 ягод. Сколько ягод созрело и упало?
10. Почтальон должен разнести 10 заказных писем. Когда несколько писем он разнёс, у него в сумке осталось 2 письма. Сколько заказных писем разнёс почтальон?

Простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц

1. В букете 5 розовых пионов, а белых на 3 пиона меньше. Сколько белых пионов в букете?
2. На первом этаже расположено 6 квартир, а на втором этаже на 4 квартиры меньше. Сколько квартир на втором этаже?
3. Костя из 10 выстрелов попал в цель 8 раз, а Толя на 2 раза меньше. Сколько раз в мишень попал Толя?
4. В столовой были 4 кастрюли с кашей, а с компотом на одну кастрюлю меньше. Сколько кастрюль с компотом было в столовой?
5. Собрали 8 кг ягод малины, а ягод смородины на 3 кг меньше. Сколько килограммов ягод смородины собрали?
6. У бабушки Нины 6 горшков красной герани, а белой на 2 горшка меньше. Сколько горшков белой герани у бабушки Нины?
7. На крыше сидит 9 воробьёв, а голубей на 5 птиц меньше. Сколько голубей сидит на крыше?
8. Перед домом стоит 7 машин, а мотоциклов на 5 меньше. Сколько мотоциклов стоит перед домом?
9. Длина клумбы 5 м, а её ширина на 3 м меньше. Какова ширина клумбы?
10. Пока хлеб был мягким, он весил 9 кг, а когда зачерствел, вес его уменьшился на 2 кг. Узнай вес чёрствого хлеба.
11. Вася поймал 7 пескарей, а Олег на 3 пескаря меньше Сколько пескарей поймал Олег?
12. В первой группе 10 учеников, а во второй на 3 ученика меньше. Сколько учеников во второй группе?
13. В кружке рисования занимаются 9 детей, а в кружке бальных танцев на 3 человека меньше. Сколько детей занимаются в кружке бальных танцев?
14. Детёныш кобры находится в яйце 10 недель, а детёныш ужа на 4 недели меньше. Сколько недель находится в яйце детёныш ужа?
15. Масса яйца сороки 10 г, а масса яйца кукушки на 7 г меньше. Определи массу яйца кукушки.
16. В доме 7 кресел, а диванов на 4 меньше. Сколько диванов в доме?
17. Гриша съел 3 орешка, а Слава на 1 орешек меньше. Сколько орешков съел Слава?
18. Около дома растёт 10 берёз, а дубов на 6 меньше. Сколько дубов растёт около дома?
19. Творожный сырок стоит 6 руб., а глазированный на 2 руб. дешевле. Сколько стоит глазированный сырок?
20. Папа купил 9 кг картофеля, а лука на 6 кг меньше. Сколько килограммов лука купил папа?
21. Около школы посадили 7 кустов сирени, а жасмина на 3 куста меньше. Сколько кустов жасмина посадили?
22. Никита собрал 9 еловых шишек, а сосновых на 5 шишек меньше. Сколько сосновых шишек собрал Никита?

Как посчитать проценты с помощью онлайн-сервисов

Не все проценты можно посчитать в уме и даже на калькуляторе. Если речь идёт о доходности вклада, переплатах по ипотеке или налогах, требуются сложные формулы. Они учтены в некоторых онлайн-сервисах.

Planetcalc

На сайте собраны разные калькуляторы, которые высчитывают не только проценты. Здесь есть сервисы для кредиторов, инвесторов, предпринимателей и всех тех, кто не любит считать в уме.

Ещё один сервис с калькуляторами на любой вкус.

Allcalc

Каталог онлайн-калькуляторов, 60 из которых предназначены для подсчёта финансов. Можно вычислить налоги и пени, размер субсидии на ЖКУ и многое другое.